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管理类联考——数学——记忆篇——二、代数——5.不等式

2023-07-13

不等式

不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容,经常会与方程、函数等其它知识点一起考察,一般的题型有:解不等式、证明不等式、求最大最小值。

均值不等式

均值不等式定义

一般情况下

对于任意实数a,b,有 a 2 + b 2 ≥ 2 a b a^2+b^2≥2ab a2+b22ab,即 a 2 + b 2 2 ≥ a b \frac{a^2+b^2}{2}≥ab 2a2+b2ab,当且仅当 a = b a=b a=b时等号成立。
特别地,如果 a > 0 , b > 0 a>0,b>0 a0b0,可得 a + b ≥ 2 a b a+b≥2\sqrt{ab} a+b2ab ,即 a + b 2 ≥ a b \frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab} 2a+bab 。(均值不等式),当且仅当a=b时等号成立。

(1)当 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn为n个正实数时, x 1 + x 2 + . . . + x n n ≥ x 1 x 2 . . . x n n ( x i > 0 , i = 1 , . . . , n ) \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}≥\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}(x_i>0,i=1,...,n) nx1+x2+...+xnnx1x2...xn (xi0i=1,...,n),当且仅当 x 1 = x 2 = . . . = x n 时,等号成立。 x_1=x_2=...=x_n时,等号成立。 x1=x2=...=xn时,等号成立。
(2) a + b ≥ 2 a b , a b ≤ ( a + b ) 2 4 ( a , b > 0 ) a+b≥2\sqrt{ab},ab≤\frac{(a+b)^2}{4}(a,b>0) a+b2ab ab4(a+b)2a,b0
(3) a + 1 a ≥ 2 ( a > 0 ) a+\frac{1}{a}≥2(a>0) a+a12a0

扩展

已知两个正数a,b,则有(当且仅当a=b时取到等号)
2 1 a + 1 b = 2 a b a + b ≤ a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} a1+b12=a+b2abab 2a+b2a2+b2

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

【注意】均值不等式的使用前提条件: 正、定、等同时成立。
均值不等式中还有一个需要注意的地方: a , b ∈ R a,b\in{R} a,bR

推导加深记忆

均值不等式是由完全平方公式推导而来的

( a − b ) 2 ≥ 0 (a-b)^2≥0 (ab)20
a 2 − 2 a b + b 2 ≥ 0 a^2-2ab+b^2≥0 a22ab+b20
a 2 + b 2 ≥ 2 a b a^2+b^2≥2ab a2+b22ab,这就是均值不等式了
∴ 当且仅当 a = b a=b a=b时等号成立
注意:a,b可以是数字,可以代数式,如单项式、多项式;整式、分式、指数式、对数式、三角式等等。如: x + 2 x ( x > 0 ) , 2 x + x 2 ( x > 0 ) , 2 x + 2 y ≥ 2 2 x + y , l o g a b + l o g b a ( l o g a b > 0 ) , s i n x + 2 s i n x ( s i n x > 0 ) x+\frac{2}{x}(x>0),\frac{2}{x}+\frac{x}{2}(x>0),2^x+2^y≥2\sqrt{2^{x+y}},log^b_a+log^a_b(log^b_a>0),sinx+\frac{2}{sinx}(sinx>0) x+x2(x0)x2+2x(x0)2

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