不等式

不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。

均值不等式

均值不等式定义

一般情况下

对于任意实数a，b，有$a^2+b^2\ge 2ab$，即$\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$，当且仅当$a=b$时等号成立。
特别地，如果$a＞0，b＞0$，可得$a+b\ge 2\sqrt{ab}$，即$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$。（均值不等式），当且仅当a=b时等号成立。

（1）当$x_1,x_2,...,x_n$为n个正实数时，$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}(x_i＞0，i=1,...,n)$，当且仅当$x_1=x_2=...=x_n时，等号成立。$
（2）$a+b\ge 2\sqrt{ab}，ab\le \frac{(a+b{)}^2}{4}（a,b＞0）$
（3）$a+\frac{1}{a}\ge 2（a＞0）$

扩展

已知两个正数a，b，则有（当且仅当a=b时取到等号）
$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

【注意】均值不等式的使用前提条件： 正、定、等同时成立。
均值不等式中还有一个需要注意的地方：$a,b\in R$

推导加深记忆

均值不等式是由完全平方公式推导而来的

∵ $(a-b{)}^2\ge 0$
∴ $a^2-2ab+b^2\ge 0$
∴ $a^2+b^2\ge 2ab$，这就是均值不等式了
∴ 当且仅当$a=b$时等号成立
注意：a，b可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等。如： x + 2 x ( x ＞ 0 ) ， 2 x + x 2 ( x ＞ 0 ) ， 2 x + 2 y ≥ 2 2 x + y ， l o g a b + l o g b a ( l o g a b ＞ 0 ) ， s i n x + 2 s i n x ( s i n x ＞ 0 ) x+\frac{2}{x}(x＞0)，\frac{2}{x}+\frac{x}{2}(x＞0)，2^x+2^y≥2\sqrt{2^{x+y}}，log^b_a+log^a_b(log^b_a＞0)，sinx+\frac{2}{sinx}(sinx＞0) x+x2​(x＞0)，x2​+2x​(x＞0)，2