可偏导数是指在多元函数中，如果存在某个变量的偏导数，则称该函数在该变量处存在可偏导数。如果在某一点处存在所有可偏导数，则称该函数在该点处可偏导。具体地，对于一个函数
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
f(x_1,x_2,...,x_n)
f(x1,x2,...,xn)，其在点
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
(x_1,x_2,...,x_n)
(x1,x2,...,xn) 处可偏导，当且仅当该点处存在偏导数
∂
f
∂
x
i
\frac{\partial f}{\partial x_i}
∂xi∂f，其中
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
i=1,2,...,n
i=1,2,...,n。
连续是指函数在某一点处极限存在且与该点处的函数值相等。具体地，在数学上，对于一个函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)，如果
lim
x
→
a
f
(
x
)
\lim\limits_{x \to a}f(x)
x→alimf(x) 存在且等于
f
(
a
)
f(a)
f(a)，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在点
a
a
a 处连续。如果
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 区间内每个点都连续，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 区间上连续。
对于可偏导性，我们需要计算该点处所有偏导数的存在性和连续性。具体地，对于一个
n
n
n 元函数
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
f(x_1,x_2,...,x_n)
f(x1,x2,...,xn)，如果在点
(
x
1
0
,
x
2
0
,
.
.
.
,
x
n
0
)
(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})
(x10,x20,...,xn0) 处，它的第
i
i
i 个偏导数
∂
f
∂
x
i
\frac{\partial f}{\partial x_i}
∂xi∂f 存在且连续，即：
lim
Δ
x
i
→
0
f
(
x
1
0
,
x
2
0
,
.
.
.
,
x
i
0
+
Δ
x
i
,
.
.
.
,
x
n
0
)
−
f
(
x
1
0
,
x
2
0
,
.
.
.
,
x
n
0
)
Δ
x
i
\lim\limits_{\Delta x_i\to 0}\frac{f(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{i_0}+\Delta x_i,...,x_{n_0})-f(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})}{\Delta x_i}
Δxi→0limΔxif(x10,x20,...,xi0+Δxi,...,xn0)−f(x10,x20,...,xn0)
存在且有限，则该函数在点
(
x
1
0
,
x
2
0
,
.
.
.
,
x
n
0
)
(x_{1_0},x_{2_0},...,x_{n_0})
(x10,x20,...,xn0) 处可偏导。
对于连续性，我们需要计算该点处的极限值，并判断其是否等于该点处的函数值。具体地，在数学上，对于一个函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)，如果
lim
x
→
a
f
(
x
)
\lim\limits_{x \to a}f(x)
x→alimf(x) 存在且等于
f
(
a
)
f(a)
f(a)，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在点
a
a
a 处连续。在多元函数中，类似于一元函数，如果一个函数在某一点处所有偏导数都存在且连续，则称该函数在该点处可偏导连续。
