【数据挖掘】时间序列教程【十】

2023-07-13

5.4 通用卡尔曼滤波

上一节中描述的状态空间模型作为观测方程的更一般的公式

$y_t = A_t x_t + V_t$

和状态方程

$x_t = \Theta x_{t-1} + W_t$

这里 $y_t$ 是一个p×1 向量 $x_t$ 是一个k×1 向量, $A_t$ 是一个p×k 矩阵, $\Theta$ 是k×k 矩阵。我们可以想到的 $V_t\sim\mathcal{N}(0, S)$ 和 $W_t\sim\mathcal{N}(0, R)$

给定初始状态 $x_0^0$ 和 $P^0_0$ ，预测方程为（类似于上面）

$x_1^0 = \Theta x_0^0\\ P_1^0 = \Theta P_0^0\Theta^\prime + R$

并且更新方程是，给定一个新的观察结果y1

$x_1^1 = x_1^0 + K_1(y_1 - A_1 x_1^0)\\ P_1^1 = (I - K_1A_1) P_1^0$

这里

$K_t = P_t^{t-1}A_t^\prime(A_tP_t^{t-1}A_t^\prime + S)^{-1}.$

5.5 缺失数据

从概念上讲，丢失数据在卡尔曼滤波器的框架中很容易处理。该过程有两个步骤：（1）预测步骤，（2）更新步骤，当我们观察新数据时发生。如果缺少一个数据点，我们就无法执行步骤 2，因此我们只需跳过它。我们保留步骤 1 中所做的预测并继续到下一个时间点。

因此，如果 $y_t$ 丢失，我们可以修改更新过程以简单地

$x_t^t = x_t^{t-1}\\ P_t^t = P_t^{t-1}$

5.6 示例：过滤手机的旋转角度

这是基于加速度计和陀螺仪测量积分的 X 轴方向估计旋转角度图。

Gyro

回想一下，手机根本没有移动，因此陀螺仪不应该真正记录任何运动。然而，乐器中的自然噪声会随着时间的推移而产生一些变化。特别是，似乎存在轻微的负偏差，因此陀螺仪似乎认为它正在沿负方向轻微旋转。当这种负面偏见随着时间的推移而积分时，其影响会随着时间的推移而累积，如上图所示。

5.7 示例：跟踪汽车的位置

我们在这里使用的模型将是前面提到的航天器模型的扩展。目标是跟踪沿着笔直道路行驶的汽车的线性（一维）位置。时间 t 时汽车沿这条道路的位置为，建模为

$p_t = p_{t-1} + v_{t-1}\Delta t + \frac{1}{2}a_{t-1} \Delta t^2 + w_t$

其中 $v_{t-1}$ 是速度， $a_{t-1}$ 是加速度， $\Delta t$ 是测量时间点之间的时间差， $w_t$ 是噪声项。在这种情况下，我们可以将状态向量写为

$x_t = [p_t, v_t, a_t].$

这里令：

$\Theta = \left[\begin{array}{ccc} 1 & \Delta t & \frac{1}{2}\Delta t^2\\ 0 & 1 & \Delta t\\ 0 & 0 & \alpha \end{array} \right]$

在里α 是表征加速度项状态转换的（已知）系数，则状态方程为

$x_t = \Theta x_{t-1} + w_t$

此时： $w_t\sim\mathcal{N}(0, \tau^2I)$

对于数据，我们有两个观察结果。一个是表示一维位置的 GPS 坐标（在本例中为经度），另一个是汽车方向的加速度。加速度可以是向前方向（正）或向后方向（负）。数据表示为

$y_t = Ax_t + v_t$

这里：

$A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$

没有直接测量速度的方法。这是汽车随时间变化的 y 轴加速度（以 $m/s^2$ 为单位）。本例中的 y 轴是行进方向。

这是汽车随时间变化的经度位置，转换为沿道路的距离（以米为单位）。数据的采样率为 20 Hz（每秒 20 次测量），因此绘图的 x 轴以 1/20 秒为单位。

实际观测到的 GPS 测量是在 20 Hz 下进行的，但我们可能会遇到无法如此频繁地测量数据的情况。例如，加速度是始终可用的惯性测量，但 GPS 测量依赖于可能始终可用或可能不始终可用的卫星。为了模拟可能的数据缺失，我们可以通过对数据进行下采样来对GPS数据进行下采样。在这里，我们只保留每 1,000 个 GPS 值中的一个。卡尔曼滤波算法的结果如下所示。

上述曲线设 $\tau = 0.5$ 且 $\sigma =20$ , α 被设为 0.64 .

下面是我们减少采样并保留每 200 个 GPS 值之一的图。

我们可以看到，当 GPS 值可用时，估计状态会尝试跟上它们，但通常需要时间进行自我修正。在上图中，我们有 τ=2，但我们可以通过减小 τ 来改变校正行为。在下图中，我们有 τ=0.5，我们可以看到轨道更加平滑。

虽然估计状态比较平滑，但也存在较大偏差。因此，在选择调整参数 τ 和 σ 时，需要平衡精度需求和平滑度需求（偏差与方差）。

5.8 示例：估计（模型）火箭的远地点

看看这个由乔·巴纳德 (Joe Barnard) 建造和发射的筒仓发射模型火箭。

这是第一次发射的慢动作版本。

火箭，无论是模型还是真实的，都需要能够随着时间的推移感知它们的位置、速度和方向。大多数情况下，他们需要知道自己是否指向正确或计划的方向，以及是否以正确的速度沿着正确的轨迹行驶。（如果不是，则可以进行修正，但我们不会在这里讨论这个问题，因为这需要进入控制理论。）

惯性测量单元 (IMU) 中使用的典型仪器是陀螺仪和加速度计。这些仪器可以为机载计算机提供惯性测量，即纯粹在机上进行的测量，无需与外部输入或参考进行任何交互。现代系统通常还具有其他仪器，例如气压高度计（用于高度）、磁力计（用于航向/方向）和 GPS（用于位置）。

这是来自 z 轴（上/下）方向加速度计的数据。

这是气压高度计的数据。

这是使用下采样高度计读数（删除所有其他值）的估计轨迹。

这是来自同一模型拟合的估计速度。速度过零的点可能就是远地点所在的位置。

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